مفهوم شگفت انگیز بی نهایت، از سال های دور ذهن ریاضی دانان را به خود مشغول کرده بود. هرچند برخی معتقدند که مفهوم بی نهایت برای نخستین بار در تمدن هند باستان شده است، اما می توان گفت که نخستین کار جدی در مورد بی نهایت در عرصه ریاضیات به دوره یونان باستان و تحقیقات اقلیدس بر روی اعداد اول باز می گردد. اقلیدس در کتاب مشهور "اصول" خود هرچند مستقیما نامی از بینهایت نبرد اما به طور ضمنی به آن اشاره کرد. اقلیدس ثابت می کند "که بزرگ ترین عدد اول، از حاصل ضرب هر تعداد مفروضی از اعداد اول هم بزرگ تر است."

پس از اقلیدس، پژوهش در مورد بی نهایت توسط سایر ریاضیدانان همچنان ادامه یافت تا سرانجام نماد ∞ به عنوان نماد این مفهوم اسرارآمیز پا به عرصه ریاضیات گذاشت. البته در مورد منشأ این نماد اطلاع زیادی در دست نیست. برخی معتقدند که این نماد، ریشه در متون مقدس کهن دارد، چرا که مشابه چنین نمادی بر روی دیوارهای غارهایی در تبت نیز کشف شده است. برخی نیز متون کیمیاگری قرون وسطا را منشأ نماد ∞ می دانند، چرا که این کیمیاگران که در جستجوی جاودانگی بودند، کتب خود را اغلب با نماد و رمز می نوشتند. در این میان، برخی نیز تصور می کنند که این نماد از شکل نوار مشهور "موبیوس" گرفته شده است. اما این تصور نمی تواند درست باشد، چرا که نماد ∞ حداقل دویست سال پیش از آن که " آگوست فردیناند موبیوس"، ریاضیدان آلمانی، نوار موبیوس را به جهان معرفی کند در متون ریاضی به کار رفته است.

احتمالا "جان والیس"، ریاضیدان انگلیسی، اولین ریاضیدانی بود که کتاب خود با عنوان "رساله ای درباره مقاطع مخروطی" که در سال 1659 منتشر شد نماد ∞ را برای نشان دادن مفهوم بی نهایت به کار گرفت. برخی معتقدند که والیس این نماد را از نماد عدد هزار در سیستم عدد نویسی یونانی که خود از سیستم عددنویسی "إتروریایی" ریشه گرفته، اخذ کرده است. در این سیستم عددنویسی نماد--- به عنوان نماد عدد هزار که بعضا معنای "خیلی زیاد" هم می دهد، استفاده شده است. یک حدس دیگر هم این است که شاید نماد ∞ از حرف "امگا" که آخرین حرف از حروف الفبای یونانی است و با ω نمایش داده می شود، گرفته شده باشد. 
بی نهایت در عصر جدید

با آغاز عصر جدید، پژوهش در مورد بی نهایت همچنان ادامه یافت. در این دوران، "گاتفرید ویلهلم لایبنیتز" و "ایزاک نیوتن" برای نخستین بار از مفهوم جدیدی به نام "بی نهایت کوچک" در عرصه ریاضیات" پرده برداشتند. بی نهایت کوچک که عملا از همان مفهوم بی نهایت مشتق شده است، عددی مثبت است که از هر عدد مثبت مفروض دیگری کوچک تر است. بدین ترتیب "بی نهایت" به همراه پسرعموی کوچک خود یعنی "بی نهایت کوچک"، پایه های عرصه بدیعی از ریاضیات به نام "حساب دیفرانسیل و انتگرال" (حسابان) را شکل دادند و این گونه بود که بی نهایت عملا به مهم ترین مفهوم در علوم و مهندسی جدید تبدیل شد.

بنابراین می توان گفت که اگر بی نهایت نبود، ما اکنون نه آسمان خراش های عظیم را داشتیم، نه امکان سفر به ماه یا ارسال کاوشگر به سایر سیارات را، نه سیستم های بسیار پیشرفته الکترونیک و مخابرات را و نه هیچ یک از سایر دستاوردهای خارق العاده مهندسی نوین را. در یک کلام اگر بی نهایت نبود، تمدن بشری هیچ گاه امکان تبدیل شدن به یک تمدن پیشرفته را پیدا نمی کرد.

اما در حالی که دانشمندان و مهندسان به کاربردهای بی نهایت بسنده کرده بودند، تلاش برای کشف دیگر ویژگی های این مفهوم اسرار آمیز در عرصه ریاضیات همچنان ادامه یافت. این تلاش ها در سال 1874 میلادی به نقطه عطفی رسید، زیرا در این سال بود که "جورج کانتور"، ریاضی دان بزرگ روسی-آلمانی، به کشف حیرت انگیزی در مورد بی نهایت دست یافت: این که اگرچه بی نهایت، بی نهایت بزرگ است، اما با این حال بزرگ تر از آن هم وجود دارد!

 

جورج کانتور، کسی که مفهوم بی نهایت را دگرگون کرد

این کشف، فوق العاده عجیب بود؛ چرا که می دانیم که بی نهایت از هر عدد قابل تصوری بزرگ تر است. پس چگونه ممکن است چیزی بزرگ تر از بی نهایت هم وجو داشته باشد؟ در پاسخ باید گفت که هرچیزی که از بی نهایت بزرگ تر باشد، اول از همه خودش باید بی نهایت باشد. بنابراین در واقع کانتور کشف کرد که بعضی بی نهایت ها از بعضی دیگر از بی نهایت ها بزرگ تر هستند. اما به راستی چگونه؟ آخر اگر بی نهایت، بی نهایت بزرگ است، پس چگونه ممکن است بزرگ تر از آن هم وجود داشته باشد؟!

هنگامی که کانتور کشف عجیب و شگفت انگیز خود را برای سایر ریاضیدانان بازگو کرد، همگی تصور کردند که او دچار نوعی جنون شده است، به همین دلیل هم هنوز چندسالی از این کشف عجیب نگذشته بود که کانتور دچار افسردگی شدید شد. علت افسردگی شدید او، کناره گیری از همکارانش و ناامید شدن از آن ها و سایر ریاضی دانان بود؛ چرا که هرچه کشف مهم خود را برای آن ها توضیح می داد، هیچ کس متوجه نمی شد. در واقع، این ریاضیدانان نسل بعد بودند که نهایتا به اهمیت فوق العاده کشف کانتور پی بردند.

اما به راستی کانتور چگونه به چنین نتیجه حیرت انگیزی رسیده بود؟ پاسخ این معما به شاخه ای ریاضیات باز می گردد که توسط خود کانتور بسط داده شده بود و امروزه "نظریه مجموعه ها" نامیده می شود.

هر مجموعه ای از تعدادی عضو تشکیل شده است. تعداد اعضای مجموعه های متناهی، قابل شمارش اند. به عنوان مثال، مجموعه ای که اعضای آن اعداد 2،3،5 و 7 هستندو دارای 4 عضو است. اما مجموعه هایی هم وجود دارند که بی نهایت عضو دارند. مجموعه هایی نظیر مجموعه اعداد طبیعی، مجموعه اعداد صحیح، مجموعه اعداد اول، مجموعه اعداد گویا، مجموعه اعداد حقیقی و ... همگی نمونه هایی از مجموعه های بی نهایت عضوی هستند.

کانتور برای مقایسه تعداد اعضای این مجموعه های بی نهایت عضوی –و به عبارتی برای مقایسه بی نهایت ها- از روش جالبی استفاده کرد. در حالت عادی، هنگامی که می خواهیم تعداد دو مجموعه –مثلا تعداد سیب های موجود در یک جعبه و تعداد پرتقال های موجود در جعبه دیگر- را با هم مقایسه کنیم، ابتدا تعداد اعضای هریک را جداگانه شمرده و سپس می بینیم که کدام یک بیش از دیگری است. اما برای این مقایسه، یک راه دیگر هم وجود دارد؛ به این صورت که ابتدا یک سیب از جعبه اول برداشته و به ازای آن، یک پرتقال نیز از جعبه دوم برمی داریم و کنار می گذاریم. نهایتا اگر مثلا پرتقال ها (یا سیب ها) اضافه آمدند، معلوم می شود که تعدادشان بیشتر بوده است (و برعکس).

این شیوه مقایسه خصوصا در مجموعه های بی نهایت عضوی که نمی توان تعدادشان را شمارش کرد، کارساز است و این در واقع همان کاری بود که کانتور انجام داد. به عنوان مثال، او ثابت کرد که مابین مجموعه بی نهایت عضوی "اعداد طبیعی" و مجموعه بی نهایت عضوی "اعداد زوج"، یک تناظر یک به یک برقرار است (یعنی می توان اعضای این دو مجموعه را به صورت یک به یک کنار گذاشت –مثلا 1را با 2، 2را با 4، 3 را با 6، ... – بدون آن که عضوی از یکی از دو مجموعه اضافه بیاید). بدین ترتیب، کانتور ثابت کرد که این دو بی نهایت دقیقا هم اندازه هستند. کانتور با همین روش توانست ثابت کند که بی نهایت به اضافه 1، بی نهایت ضرب در 2 و حتی بی نهایت به توان دو نیز همگی با هم برابرند.

خب، تا اینجای داستان همان طور بود که انتظار داشتیم؛ اما نکته عجیب از اینجا شروع می شود. کانتور با همین روش هوشمندانه خود ثابت کرد که تعداد اعضای مجموعه بی نهایت عضویِ "اعداد حقیقی"، از تعداد اعضای مجموعه بی نهایت عضوی "اعداد طبیعی" بیشتر است! به عبارتی، آن بی نهایت از این بی نهایت بزرگ تر است!

اما از همه عجیب تر آن که کانتور توانست نشان دهد که نه تنها بی نهایتی بزرگ تر از بی نهایت اعداد طبیعی وجود دارد، بلکه باز هم بی نهایتی بزرگ تر از آن هم وجود دارد . به همین ترتیب. برای همین هم کانتور استفاده از نماد ∞ را به تنهایی برای نشان دادن مفهوم بی نهایت مناسب ندید، چرا که این نماد به طور صرف مشخص نمی کند که ما با بی نهایتی کوچک تر سروکار داریم یا بی نهایتی بزرگ تر! بنابراین کانتور بی نهایت اعداد طبیعی را با نماد aleph-0 (الف-0) نشان داد که الف، نام اولین حرف از حروف عبری–و همین طور فارسی- است. او به همین ترتیب بی نهایت بزرگ تر را با نمادهای aleph-1 (الف-1)، aleph-2 (الف-2) و ... نشان داد.

پیدا کردن حاصل جمع این بی نهایت ها بسیار ساده است، چرا که مجموع آن ها اغلب برابر با بزرگ ترین آن هاست. به عنوان مثال، به موارد زیر توجه کنید:

Aleph-0 + aleph-1 = aleph-1

Aleph-0 × aleph-1 = aleph-1

همان طور که دیده می شود، بی نهایت های بزرگ تر آن قدر از بی نهایت های کوچک تر بزرگ تر هستند که وقتی با آن ها جمع و یا حتی ضرب می شوند، عملا هیچ تغییری نمی کنند. "ساهارون شلا"، ریاضیدانی است که به این جمع و تفریق ها و مقایسه بی نهایت ها با هم دیگر بسیار علاقه مند است. اما او این کار را صرفا برای تفریح انجام نمی دهد، بلکه با این کار، مرزهای بیکران ریاضیات را در می نوردد. شلا از دهه 1980 کاوش در عرصه بی نهایت ها را آغاز کرد. او به عنوان مثال، می خواست بداند که اگر بی نهایت ها را بی نهایت مرتبه و تا مرتبه بی نهایت ام در همدیگر ضرب کنیم، بی نهایت حاصل چقدر بزرگ خواهد بودو آیا باز هم بی نهایتی بزرگ تر از آن وجود خواهد داشت؟ بنابراین شلا می خواست حاصل ضرب زیر را پیدا کند:

Aleph-0 × aleph-1 × aleph-2 × …

فکر می کنید بی نهایت  حاصل از عبارت فوق چه قدر بزرگ باشد؟ شلا ثابت کرد که پاسخ، قطعا کوچک تر از aleph-aleph-4 خواهد بود. بدین ترتیب شلا توانست ثابت کند که چنان چه بی نهایت ها را بی نهایت مرتبه و تا مرتبه بی نهایت ام در همدیگر ضرب کنیم، بی نهایت حاصل باز هم بزرگ ترین بی نهایت نبوده و بی نهایت های بسیار بزرگ تر از آن هم وجود دارند!

اما با اندیشیدن به این ویژگی حیرت انگیز بی نهایت، ناخودآگاه پرسشی در ذهن انسان شکل می گیرد: این که آیا مفهوم حقیقی بی نهایت، اساسا در ذهن بشر می گنجد؟ متأسفانه به نظر می رسد که پاسخ این پرسش، منفی باشد. در واقع ریاضیدانان ثابت کرده اند که بسیاری از پرسش های مربوط به بی نهایت، برای همیشه برای بشر بی پاسخ خواهند ماند. یکی از این پرسش های بی پاسخ، سوالی است که توسط خود کانتور مطرح شده بود. او توانسته بود ثابت کند كه تعداد اعضای مجموعه بی نهایت عضوی اعداد حقیقی، بیشتر از تعداد اعضای مجموعه بی نهایت عضوی اعداد طبیعی (aleph-0) است؛ و اینک می خواست بداند که آیا بی نهایت اعداد حقیقی به اندازه aleph-1 است یا مثلا aleph-57؟

کانتور هیچ وقت نتوانست پاسخی برای این پرسش خود بیابد؛ تا این که ریاضیدانان نسل بعد از او ثابت کردند که یافتن پاسخ این پرسش برای بشر ناممکن است و به عبارتی این سوال تا ابد نزد انسان بی پاسخ خواهد ماند. بدین ترتیب، هرچند تحقیق در مورد ویژگی های حیرت انگیز بی نهایت برای سالیان سال همچنان ادامه خواهد یافت، اما همان طور که ریاضیدانان هم ثابت کرده اند، احتمالا اندیشه بشری هیچ گاه به غایت این مفهوم اسرارآمیز پی نخواهد برد.